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Process Watch:对自己的置信度充满信心
录入时间:2017/11/15 10:36:48

Process Watch:对自己的置信度充满信心

 作者:Douglas G. Sutherland 和 David W. Price

作者按语:Process Watch 系列连载探讨了半导体产业工艺控制(缺陷检测与量测)的基本概念。上一集连载探讨了工艺控制 10 大根本法则,这一全新的系列文章连载着重说明了工艺控制的其他趋势,包括集成电路生产的成功实施战略及益处。

在 1900 年代初期效力于爱尔兰都柏林 Guinness® 啤酒酿酒厂期间,William Sealy Gosset 发明了一种称为 T 检验1 的统计算法。Gosset 采用这种算法确定产量最高的大麦品种,最大限度为其雇主降低成本,但为了保护 Guinness 的知识产权,他以Student”(“学生”)为笔名发表他的发明和理论。我们今天使用的 T 检验版本是经过 Gosset 在牛津大学的同事 Ronald Fisher 爵士经过改良的,但通常仍被称为学生 T 检验。本文并不阐述 T 检验本身的数学理论,而是讨论持续达到 T 检验结果中的 95% 置信度所需要的数据数量。

T 检验是一种统计算法,用于确定两个样本是否同属一个总样本。它并不明确解决问题,而只是计算两个样本同属一个总样本的概率。例如,如果我们开发了一种清洁蚀刻室的新工艺,则我们可能想要证明它能够减少掉落的颗粒。利用晶圆检测系统,我们可以测量采用旧的清洁工艺后蚀刻室内晶圆上的颗粒数量,然后测量采用新的清洁工艺后的颗粒数量。我们随后可以用 T 检验来证明两者之间的差异是否具有统计意义,抑或仅仅是随机波动的结果。T 检验可以回答以下这个问题:两个样本同属一个总样本的概率有多大?

但如图 1 所示,T 检验可能会产生两种假结果:假阳性或假阴性。若要验证实验数据与基线确实不一样,T 检验的结果通常必须小于 5%(即假阳性的概率小于 5%)。但如果 T 检验的结果大于 5%(阴性结果),它并不能说明有多少概率这种结果是假的。假阴性的概率是由测量次数决定的。因此始终存在两个检验标准:(1) 我的实验是否通过了 T 检验? (2) 我测量的次数是否足以让我对结果有信心?我们在本文中尝试阐述后一个问题。

 

1. 真值表”强调 T 检验得出错误结果的两种可能。

 

改变半导体制造工艺是个昂贵的工程问题。实施没有任何意义(假阳性)的变动不仅浪费时间,而且还可能有害。不实施可能有益(假阴性)的变动则可能会因丧失机会而付出数千万美元的代价。重要的是,您的结果需要有合适的置信度,而要做到这一点,您使用的样本量必须与您试图达到的变化程度相匹配。以蚀刻清洁过程为例,这就意味着需要收集足够数量的晶圆检测数据,以确定新的清洁工艺能否真正减少了颗粒的数量。

一般来说,两件事物之间的差异越大,就越容易区分它们。区分红色和蓝色比较容易,但是区分两种不同深浅度的红色或两种不同深浅度的蓝色则比较困难。同理,样本自身的变异性越小,就越容易看出变化2。在统计学中,变异性(有时称为噪声)通常以标准偏差(s)的单位来衡量。通常两个样本之间的平均差也很方便地以 s 为单位来表示(例如,实验结果均值为低于基线均值 1s)。其优势在于,它用常用计量单位 (s) 来统一表示结果。仅仅用一些绝对数值来说明两个平均值之间的差异不够充分(例如,A 的平均值比 B 的平均值大 42)。然而,如果我们能够以标准偏差为单位表示这个绝对值,则能够直接说明问题的背景,让人很容易理解这两个均值之间的相对差异(例如,A 的平均值比 B 的平均值大 1 个标准偏差)。

图 2 显示了变动前后两个数据集示例。我们可以将其视作之前讨论过的蚀刻室清洁实验。基线数据是采用新清洁工艺之前的每个晶圆上的颗粒数量,结果数据是采用新清洁工艺之后的每个晶圆上的颗粒数量。图 2A 的结果显示出数据均值的变化小,但标准偏差高,图 2B 中均值的变化量与图2A相同,但噪声较低(标准偏差较低)。相比图 2B,您将需要更多的数据(例如检测更多的晶圆)来验证图 2A 中的变化,这是因为,尽管两者的绝对变化相同,但图 2A 中的信噪比较低。

 

 

2. 两张图显示之前和之后的绝对变化相同,但图 2B(右)的标准偏差低很多。如图 2A(左)所示,如果相对于标准偏差,变化很小时,则需要更多的数据验证。

 

问题在于:我们需要多少数据才能充满信心地证明这些差别? 当我们用标准误差 (SE) 来描绘数据时,就能直观地看到这一点。SE 可以被看作计算平均值时的误差(例如,平均值为 X +/- SE)。SE 与 s/√n 成正比,其中 n 是样本量。图 3 显示了两个不同样本的 SE作为测量次数 n 的函数。

 

 

3. 具有不同均值的两个样本平均值中的标准误差 (SE)。在本例中,两个数据集中的标准差是相同的,但并不需要这样。当测量次数超过 x 时,误差线不再重叠,因此可以95%以上的置信度说两组数据是群不相同的。。

 

对于既定的均值差和既定的标准偏差,我们可以计算出这两个测量分布的标准误差不相重叠所需要的测量次数x(以既定置信度)。

确定 T 检验中的正确样本量的实际方程式如下:

           公式1    

其中 n 是所需要的样本量,Delta”是测量出来的以标准偏差(s)为单位的两个均值之间的差异,,Zx 是概率为 x 的 T 分布下的面积。如果 a=0.05(假阳性的概率为 5%)、b=0.95(假阴性的概率为 5%),则 Z1-a/2 和 Zb 分别等于 1.960 和 1.645(其他 ab 值的 Z 值请参阅大多数统计教科书、Microsoft® Excel® 或网络)。如图 3 所示和 公式1的数学计算所指出,随着两组数据之间的差异(delta)变小,区分两者所需要的测量次数将呈指数级增加。图 4 显示了所需要的样本量作为以 s 为单位的均值差 Delta 的函数。正如预期,对于大于 3s 的大变化,人们95% 的时间可以用很少的数据通过 T 检验。随着 Delta 变小,则需要更多测量来持续验证变化。只有 1 个标准偏差的变化需要之前和之后进行 26 次测量,而 0.5s 的变化则需要超过 100 次测量。

 

4. 验证 5% 假阳性和 5% 假阴性的两组数据的既定均值变化所需要的样本量

 

这种变化量与检测变化量所需要的最少测量次数之间的关系,对如何选择检测或量测设备的类型有着影响,以验证所期望的变化。采用来自图 4 的数据,图5显示了用不同类型的设备验证既定变化所需的时间。在这个例子中,样本量是以晶圆数量衡量的。对于快速的检测设备(高速度,例如激光扫描晶圆检测系统),验证相对较小的工艺改进 (<0.5s) 是可行的,因为它们可在相对较短的时间内进行 200 次必要的测量(之前 100 次和之后 100 次)。诸如电子束检测系统之类的慢速设备只限于检测总体工艺变化,并且工艺的改进大于 2s。即使这样,仅测量时间一项就意味着需要数周时间才能验证一个阳性结果。以蚀刻室清洁为例,需要迅速确定清洁过程中的变化结果,以保证蚀刻设备可以重新投入生产。确定颗粒数量变化的最佳检测系统是高速度检测设备,它可以检测需要关注的颗粒,且晶圆与晶圆之间的变异性很低。

 

5. 确定四种不同通量的工艺控制设备的特定变化所需要的测量时间(电子束检测、宽波段等离子检测、激光扫描和量测设备)

 

实验的运行成本很高。如果实验结果为假阳性,就会浪费时间和资源,如果实验结果为假阴性,则可能因为丧失机会而损失数百万美元。若您需要您的结果有适当的置信度,您必须使用与您想要达到的变化量相对应的正确样本量(因此要使用适当的检测设备)。

 

参考文献:

1)      https://en.wikipedia.org/wiki/William_Sealy_Gosset

2)    Process WatchKnow Your Enemy(了解你的敌人),Solid State Technology,2015 年 3 月

 

作者简介

David W. Price 博士是 KLA-Tencor 公司的高级总监。Douglas Sutherland 是 KLA-Tencor 公司的首席科学家。在过去 10 年间,Price 博士和 Sutherland 博士一直与 50 多家半导体集成电路制造商直接合作,帮助他们优化整体检测策略,以实现最低总成本。此系列文章对他们在这些工作中观察到的一些普遍经验进行了总结。


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